Permaktron


Permaktron se používá jako zesilovač slabých signálů.

 

Princip jeho činnosti je následující:

Ve vlnovodu opatřeném vhodnou periodickou strukturou, která zpomaluje běžící vlnu, se pohybuje svazek elektronů. Na elektron, který se pohybuje stejnou rychlostí jako elektromagnetická vlna, působí síla, která nezávisí na čase. Jestliže je touto silou brzděn, předává energii poli, a to – na rozdíl od klystronu – po dlouhou dobu. Elektron, který vstoupí do pole vlny v nevhodném okamžiku,  bude urychlován též dlouhodobě. V šířící se vlně však dochází ke shlukování elektronů, za určitých podmínek je počet brzděných elektronů větší, než urychlovaných – signál se zesiluje.

 

Nyní popíšeme postup, jímž by se dal teoreticky zvládnout problém permaktronu aniž by se použilo inženýrských metod. Ukáže se, že by to bylo velmi pracné a zdlouhavé, takže nakonec přistoupíme k radikálnímu zjednodušení.

Postup vychází z Maxwellových rovnic. Máme vlnovod kruhového průřezu, uvnitř vlnovodu periodickou strukturu – pro určitost šroubovici z vodivého materiálu, uvnitř šroubovice válcový elektronový paprsek (obr. 8.1.1)

 

Obr. 8.1.1  Schéma permaktronu

  1. Musíme popsat elektromagnetické pole v této struktuře, splňující okrajové podmínky. I když okrajové podmínky na vodivé šroubovici nahradíme vodivým válcem jímž protéká povrchový proud v daném směru (po šroubovici) o konstantní hustotě, musíme rozdělit vnitřek vlnovodu na tři oblasti: elektronový svazek, prostor mezi elektronovým svazkem a šroubovicí, mezi šroubovicí a vlnovodem. Dostaneme vlny TE a TM a příslušné diferenciální rovnice pro podélné složky Ez a Hz, kde se bude vyskytovat jednak neurčená konstanta šíření G (vlna bude typu ), jednak hustota elektronového proudu i(r), která ovšem sama bude záviset na Ez.
  2. Určíme závislost i na Ez z pohybové rovnice elektronu v poli Ez (z,r,t). Za předpokladu, že střídavé složky rychlostí elektronů, hustoty náboje, hustoty proudu jsou malé v porovnání se stejnosměrnými, dostaneme závislost rychlosti, prostorového náboje, hustoty proudu na podélné složce intenzity elektrického pole Ez, kde se opět bude vyskytovat konstanta šíření G.

Rovnice, které vyjdou z prvního postupu, umožní určit, jaká pole vzbudí elektronový svazek o známém rozdělení proudové hustoty ve struktuře šroubovice – vlnovod. Rovnice, které jsou výsledkem druhého postupu, umožňují určit, jakou strukturu bude mít elektronový svazek vlivem daného, známého pole.

Jestliže zanedbáme slabý vnější signál, který působí na vstupu, je možné považovat pohyb elektronů za probíhající v poli, které sami vzbudily ve vlnovodu se šroubovicí. Potom můžeme obě soustavy rovnic spojit a dostaneme vlastnosti elektromagnetické vlny a možné hodnoty konstanty šíření G.

Takto popsaný postup v principu dodržíme, avšak vyhneme se Maxwellovým rovnicím s jejich složitými okrajovými podmínkami. Nahradíme je upravenými telegrafními rovnicemi, které zahrnou interakci elektronového svazku s periodickou strukturou. Na obr. 8.1.2 je znázorněn řez permaktronem. Trubice obsahující šroubovici je umístěna v podélném magnetickém poli, které má pouze fokusační úlohu

.

Obr. 8.1.2  Řez permaktronem

Místo obvyklého náhradního schématu pro homogenní vedení (bezeztrátové), které popisuje chování vlnovod + šroubovice, umístíme ještě v jeho blízkosti elektronový svazek s proudem Je (x,t) a o průřezu P(obr. 8.2.3).

 

Obr. 8.1.3  Náhradní schéma

Na délce je náboj nesený svazkem . Kondenzátor se nabíjí jednak nábojem q z obvodu, jednak nábojem , takže .

Dále platí

(z rovnice kontinuity pro elektronový svazek )

Dosazením získáme

Provedeme-li nyní limitní přechod, dostaneme rovnici

             (8.1.1)

která se od obvyklé rovnice pro proud liší tím, že přibyl člen obsahující elektronový proud. 

Rovnice pro napětí zůstává beze změny

 

                       (8.1.2)

Budeme nyní předpokládat, že vedením se šíří vlna ve směru x, s nějakou konstantou šíření G.

 Potom máme

Dosazením do telegrafních rovnic (8.1.1) a (8.1.2) a vyloučením I dostaneme

Zavedeme si ještě obvyklé veličiny (rychlost šíření), impedanci , označíme-li  (což je konstanta šíření bez přítomnosti elektronového svazku), můžeme  a máme

 

          (8.1.3)

Neznáme ovšem ani G, ani Ie. Až potud odpovídá náš postup postupu popsanému v bodě1. Ale místo Maxwellových rovnic jsme použili telegrafních rovnic, takže místo intenzit pole jsme získali napětí.

Pro postup popsaný v bodě 2. vyjdeme z pohybové rovnice elektronu, intenzita pole má složku Ez, takže

          (8.1.4)

kde

                              

Rovnice (8.1.4) je obecně nelineární, ale pro případ malého signálu ji můžeme zlinearizovat.

Postup je následující: 

Předpokládáme, že rychlost, hustota náboje, proudová hustota (resp. proud) mají konstantní a střídavou složku, střídavá složka je malá v porovnání s konstantní.

Máme:

                      

                  

Dosazením do pohybové rovnice (8.1.4) a zanedbáním výrazu  dostaneme

     , kde    

Dále použijeme rovnice kontinuity

   

odkud

          (8.1.5)

avšak

a dosazením za r1  z (8.1.5)

odkud dostaneme 

          (8.1.6)

Tedy máme opět vztah mezi Ie a U obsahující konstantu šíření G. Spojíme-li nyní výsledky obou postupů tj. Rovnic (8.1.3) a (8.1.6) vyloučíme U a Ie, dostáváme rovnici pro  G - disperzní rovnici

          (8.1.7)

Budeme hledat řešení za předpokladu, že rychlost elektronů a rychlost elektromagnetické vlny jsou si blízké, tj. položíme

nebo-li 

Zavedeme si označení

potom máme

          (8.1.8)

Za předpokladu, že je velmi malá veličina (prakticky je řádu 10-5) je pravá strana blízká nule a musí být buď

            nebo          .

Označíme-li 

je v prvním případě a máme první tři kořeny

čtvrtý kořen hledáme ze vztahu , kde a dostaneme

 

Nalezeným kořenům rovnice (8.1.8) odpovídají čtyři různé konstanty šíření G1G4:

 

(8.1.9a)

(8.1.9b)

(8.1.9c)

(8.1.9d)

Vlny s konstantou šíření (8.1.9a) a (8.1.9b) se šíří od vstupu k výstupu, při čemž amplituda vlny (8.1.9a) roste exponenciálně jako , zatímco vlna (8.1.9b) se obdobným způsobem exponenciálně tlumí. Vlna (8.1.9c) se šíří k výstupu s konstantní amplitudou. Vlna (8.1.9d) má též konstantní amplitudu a šíří se ve směru opačném pohybu elektronů. Pro zesílení signálu je důležitá pouze vlna (8.1.9a), jejíž fázová rychlost je poněkud menší než rychlost elektronů. Při malých hodnotách  jsou amplitudy všech tří přímých vln přibližně stejné. Jakmile (dosti dlouhý prostor interakce) převládne vlna (8.1.9a), která způsobí zesílení vstupního signálu. Zesílení výkonu je zřejmě

           (8.1.10)

kde L je délka prostoru interakce, V1 amplituda napětí. Amplituda napětí na výstupu V1 (L)  je prakticky rovna amplitudě rostoucí přímé vlny, na vstupu je , počítáme-li s tím, že napětí se rozdělí rovnoměrně na tři přímé vlny a V(O)   jest přiváděné vstupní napětí signálu. Nechť na délku L  se vejde N vlnových délek zpomalené vlny, pak

 

Dosazením do (8.1.10) dostáváme

         (8.1.11)

Tato hodnota se dobře shoduje s experimentem. Při obecnějším řešení disperzní rovnice (8.1.7), za předpokladu , že by vyšlo, že zesílení existuje v určitém rozmezí rychlosti elektronů, pro .

Na rozdíl od klystronů a zesilovačů se zkříženými poli, které jsou založeny na interakci elektronů s rezonančními obvody, má permaktron charakter širokopásmového zesilovače. To souvisí s tím, že  zde nejde o interakci v krátkém prostoru, nýbrž že elektron a elektromagnetická vlna se ovlivňují v dlouhém prostoru, který sám má rezonanční charakter. Zesílení závisí na veličině CN (viz 8.1.11). Při velmi vysokých frekvencích se pole na ose šroubovice zmenšuje a koncentruje se u povrchu šroubovice. To má za následek, že v náhradním schématu šroubovice + vlnovod zavedená impedance Z0 klesá s frekvencí rychleji, než vzrůstá N. Budeme hledat řešení za předpokladu, že rychlost elektronů a rychlost elektromagnetické vlny jsou si při nízkých frekvencích rovny a zesílení je malé, neboť je malé N. Tím je vlastně zhruba určena šířka pásma. Šířka pásma je nejcennější vlastností permaktronu se šroubovicovou periodickou strukturou . Jiné typy periodických struktur (např. vlnovod opatřený periodicky rozmístěnými disky s otvory) nedosahují takových kvalit, ale mají opět jiné přednosti (mohou disipovat větší výkony). V praxi bylo dosaženo při střední frekvenci 4.109 s-1 šířky pásma 109. Účinnost, počítaná jako poměr výstupního výkonu  k stejnosměrnému výkonu elektronového svazku, je nízká ~ 2 až 5 %.

Závěrem je třeba si uvědomit, že jsme použili lineární teorii, takže amplituda zesílené vlny rostla podél interakčního prostoru monotónně. Nelineární teorie vede k jinému výsledku, amplituda má maximum při určité optimální délce L.